Lecture 2: relations models and algebra
一、关系模型基础
关系结构
- 关系（Relation）：由行（元组）和列（属性）组成的二维表。例如，
Instructor表包含属性ID,name,dept_name,salary。 - 属性（Attribute）：列的命名，每个属性有对应的域（Domain），规定允许的取值范围。属性值需为原子值（不可再分），允许
null表示未知值。 - 元组（Tuple）：表中的一行数据。
模式与实例
- 关系模式（Schema）：关系的逻辑结构，定义属性集合。例如，
instructor(ID, name, dept_name, salary)。 - 关系实例（Instance）：某一时刻关系中具体的数据集合，即表的实际内容。
关系无序性
关系的元组没有固定顺序，存储和查询时顺序不影响结果。
二、键（Keys）
超键与候选键
- 超键（Superkey）：能唯一标识元组的属性集合。例如，
{ID}和{ID, name}均为超键。 - 候选键（Candidate Key）：极小超键（无法进一步删减属性）。例如，
{ID}是候选键。
主键与外键
- 主键（Primary Key）：从候选键中选定的唯一标识符。
- 外键（Foreign Key）：一个关系中的属性集合，需引用另一关系的主键。例如，
teaches表中的ID引用instructor表的ID。
三、关系代数
关系代数是过程式查询语言，包含6种基本操作：
基本操作符
1.选择（Select）
\(\sigma_p(r)\)：筛选满足谓词\(p\)的元组。
示例：查询物理系教师
$$ \sigma_{\text{dept_name="Physics"}}(\text{instructor}) $$
2.投影（Project）
\(\Pi_{A_1, A_2, \dots, A_k}(r)\)：保留指定属性，去重后输出。
示例：获取教师ID和姓名
$$ \Pi_{\text{ID, name}}(\text{instructor}) $$
3.并（Union）
\(r \cup s\)：合并两个同构关系的元组。
示例：查询2017秋季或2018春季开设的课程
$$ \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Fall} \land \text{year=2017}}(section)) \cup \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Spring} \land \text{year=2018}}(section)) $$
4.差（Set Difference）
\(r - s\)：保留在\(r\)中但不在\(s\)中的元组。
示例：查询2017秋季开设但2018春季未开设的课程
$$ \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Fall} \land \text{year=2017}}(\text{section})) - \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Spring} \land \text{year=2018}}(\text{section})) $$
5.笛卡尔积（Cartesian Product）
\(r \times s\)：组合两关系的所有元组对。
示例：\(instructor \times teaches\)生成所有可能的教师-课程组合。
6.重命名（Rename）
\(\rho_{x(A_1, A_2, \dots, A_n)}(E)\)：将表达式\(E\)的结果重命名为\(x\)，并可改属性名。
其它操作符
7.连接（Join）
\(\Join_{\theta}\)：结合选择与笛卡尔积，保留满足条件\(\theta\)的元组。
示例：查询教师及其对应的授课信息：（自然连接是自动匹配同名属性，省略\(\theta\)条件）
$$ \text{instructor} \Join_{\text{instructor.ID=teaches.ID}} \text{teaches} $$
8.集合交（Intersection）
\(r \cap s\)：返回同时在\(r\)和\(s\)中的元组。
示例：查询同时在2017秋季和2018春季开设的课程
$$ \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Fall} \land \text{year=2017}}(\text{section})) \cap \Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester=Spring} \land \text{year=2018}}(\text{section})) $$
四、等价查询
同一查询可通过不同关系代数表达式实现。例如，查询物理系高薪（>90000）教师：
表达式1：先选择后投影
$$
\Pi_{\text{name}}(\sigma_{\text{dept_name=Physics} \land \text{salary>90000}}(\text{instructor}))
$$
表达式2：分步赋值
$$
\text{PhysicsHigh} \leftarrow \sigma_{\text{dept_name=Physics} \land \text{salary>90000}}(\text{instructor})
$$