Lecture 7: Normalization

闭包计算实例

看着让人很头大，我们不妨举个简单例子：

我们有一个关系\(S(\text{ID}, \text{Name}, \text{Age}, \text{Salary})\)

函数依赖集为：\(G = \{ \text{ID} \rightarrow \text{Name},\ \text{Name} \rightarrow \text{Age},\ \text{Age} \rightarrow \text{Salary} \}\)。

计算 \(\text{ID}^+\) 的过程如下：

1. 初始化：\(\text{result} = \{ \text{ID} \}\)。
2. 应用自反律：\(\text{ID} \rightarrow \text{ID}\)，所以 \(\text{result} = \{ \text{ID} \}\)。
3. 检查函数依赖：
   • \(\text{ID} \rightarrow \text{Name}\)：因为 \(\text{ID} \subseteq \text{result}\)，所以加入 \(\text{Name}\)，\(\text{result} = \{ \text{ID}, \text{Name} \}\)；
   • \(\text{Name} \rightarrow \text{Age}\)：因为 \(\text{Name} \subseteq \text{result}\)，故加入 \(\text{Age}\)，\(\text{result} = \{ \text{ID}, \text{Name}, \text{Age} \}\)；
   • \(\text{Age} \rightarrow \text{Salary}\)：因为 \(\text{Age} \subseteq \text{result}\)，同理，\(\text{result} = \{ \text{ID}, \text{Name}, \text{Age}, \text{Salary} \}\)。
4. 再次检查，无更多依赖可应用，结束。

最终结果是：\(\text{ID}^+ = \{ \text{ID}, \text{Name}, \text{Age}, \text{Salary} \}\)，说明 \(\text{ID}\) 可以决定整个关系 \(S\) 的所有属性，因此 \(\text{ID}\) 是一个超键（也是候选键）。

再举一个例子，函数依赖集\(F=\{\text{ID}\space \text{Name} \rightarrow \text{Age}\space \text{Salary}\}\)

对于\((\text{ID}\space \text{Name})^+\)，我们显然有\(\text{result} = \{ \text{ID},\text{Name} \}\)，而\(F=\{\text{ID}\space \text{Name} \rightarrow \text{Age}\space \text{Salary}\}\)又能得到\(\text{result} = \{ \text{ID}, \text{Name}, \text{Age}, \text{Salary} \}\)，所以\(\text{ID}\space \text{Name}\)也是一个超键。

BCNF判断示例

假设我们有一个关系 \(R(A, B, C)\)，函数依赖为：

• 步骤一：找候选键（这种一眼耵真就行）
  • 计算 \(A^+\)：A显然可以通过传递性和自反性决定所有的属性，所以\(A\) 是候选键。
  • \(B\) 不是候选键，因为 \(B^+ = {B, C}\)，不能决定 \(A\)。
  • \(C\) 更不是候选键。
• 步骤二：检查每个函数依赖
  1. \(A \rightarrow B\)：\(A\)是候选键，显然的
  2. \(B \rightarrow C\)：\(B\)不是候选键，因为没有\(B \rightarrow A\)

结论：这个关系 不满足BCNF

补充：如何变成BCNF呢？分解！（后续有提到哦）

我们可以把 \(R(A, B, C)\) 分解成两个关系：

• \(R_1(B, C)\)，对应 \(B \rightarrow C\)
• \(R_2(A, B)\)，对应 \(A \rightarrow B\)

现在这两个子关系就都满足BCNF了。

3NF判断示例

还是刚才的例子：

• 候选键是 \(A\)
• \(B\)不是候选键
• 但是\(C\)是不在候选键里的属性，所以也不满足 3NF 的第 3 条，所以也不是3NF

但如果改成这样：

那么候选键包括 \(A, B, C\)，随便选一个出来都可以决定所有属性。

此时 \(B \rightarrow C\) 中的\(C\)在候选键中，满足 3NF。

再举个复杂例子：\(R(A, B, C, D),\ F = \{ AB \rightarrow CD,\ C \rightarrow A \}\)。

根据闭包算法，显然有\(AB^+\) = \(\{A,B,C,D\}\)（怎么来的看”闭包计算“一段的例子），所以\(AB\)是\(F\)的候选键。

而对于\(C \rightarrow A\)呢？\(C\)肯定不是超键或者候选键，平凡依赖也谈不上，再看最后一个定义，我们有：

而\(A\subseteq AB\)，符合第3条，所以其实\(R,F\)就是3NF。

实例讲解：对 class 表分解

原始关系\(class\)：

函数依赖集合 \(F\)：

1. \(course\_id \rightarrow title, dept\_name, credits\)
2. \(building, room\_number \rightarrow capacity\)
3. \(course\_id, sec\_id, semester, year \rightarrow building, room\_number, time\_slot\_id\)

分解步骤：

第一步：处理 \(course\_id \rightarrow title, dept\_name, credits\)

• \(course\_id\) 是左部，不是候选键（不能决定所有属性）。
• 不满足 BCNF ，分解。

新建关系：

• \(course(course\_id, title, dept\_name, credits)\)
• 剩下属性：\(class - \{title, dept\_name, credits\}\)

第二步：处理 \(building, room\_number \rightarrow capacity\)

• \(building, room\_number\) 不是候选键。
• 不满足 BCNF，分解。

新建关系：

• \(classroom(building, room\_number, capacity)\)
• 剩下属性：去掉 \(capacity\)。

第三步：剩下未被分解的部分：

第三个关系目前没有违反 BCNF 的依赖（因为主依赖是 \(course\_id, sec\_id, semester, year \rightarrow ...\)，即左部是候选键）

所以最终分解为三个表：

1. \(course(course\_id, title, dept\_name, credits)\)
2. \(classroom(building, room\_number, capacity)\)
3. \(section(course\_id, sec\_id, semester, year, building, room\_number, time\_slot\_id)\)

这三个对于\(F\)都满足 BCNF。

实例讲解1：对 enroll 表分解

enroll 关系：

函数依赖集合 \(F\)：

• \(student\_id \rightarrow name\)
• \(course\_id \rightarrow instructor\)
• \(student\_id, course\_id \rightarrow grade\)

步骤一：找候选键

计算 \((student\_id, course\_id)^+\)：

• \(student\_id \rightarrow name\)
• \(student\_id \rightarrow grade\)
• \(course\_id \rightarrow instructor\)
• 所以 \((student\_id, course\_id)^+ = enroll\)

\((student\_id, course\_id)\)是候选键

步骤二：检查每个函数依赖是否满足 3NF

1. \(student\_id \rightarrow name\)

   左部不是候选键不是平凡依赖,右边 name也不在候选键中，所以不是主属性，故不满足 3NF

2. \(course\_id \rightarrow instructor\)

   同理，不是候选键，也不是平凡依赖，instructor 更不是主属性，所以不满足 3NF。

3. \((student\_id, course\_id) \rightarrow grade\)

   左部是候选键，满足 3NF。

步骤三：进行 3NF 分解

1. 求正则覆盖 \(F_c\)

原始依赖已是最简形式，所以：

2. 对对应的依赖创建一个\(\alpha \beta\)关系：

• \(R_1(student\_id, name)\)
• \(R_2(course\_id, instructor)\)
• \(R_3(student\_id,course\_id, grade )\)

3. 检查是否有关系包含候选键

\(R_3\)其中显然包含了候选键。

4. 删除冗余关系（无）

最终分解结果：

1. \(R_1 = Student(student\_id, name)\)
2. \(R_2 = Course(course\_id, instructor)\)
3. \(R_3 = Enroll(student\_id, course\_id, grade)\)

实例讲解2：对 employee 表分解

employee 关系：

函数依赖集合 \(F\)：

• \(emp\_id \rightarrow name\)
• \(emp\_id \rightarrow dept\_id\)
• \(dept\_id \rightarrow dept\_name\)
• \(dept\_id \rightarrow manager\_id\)

步骤一：找候选键

计算 \(emp\_id^+\)：

• \(emp\_id \rightarrow name\)
• \(emp\_id \rightarrow dept\_id\)
• \(dept\_id \rightarrow dept\_name\)
• \(dept\_id \rightarrow manager\_id\)

所以 \(emp\_id^+ = employee\)，\(emp\_id\) 是候选键

步骤二：检查每个函数依赖是否满足 3NF

1. \(emp\_id \rightarrow name\)

   左部是候选键，满足 3NF。

2. \(emp\_id \rightarrow dept\_id\)

   左部是候选键，满足 3NF。

3. \(dept\_id \rightarrow dept\_name\)

   左部不是候选键，不是平凡依赖，\(dept\_name\) 不在候选键中，因此不是主属性，故不满足 3NF。

4. \(dept\_id \rightarrow manager\_id\)

   同理，\(manager\_id\) 也不在候选键中，不满足 3NF

步骤三：进行 3NF 分解

1. 求正则覆盖 \(F_c\)

原始依赖已是最简形式，所以：

2. 对每个依赖创建一个 \(\alpha\beta\) 关系：

• \(R_1(emp\_id, name)\)
• \(R_2(emp\_id, dept\_id)\)
• \(R_3(dept\_id, dept\_name)\)
• \(R_4(dept\_id, manager\_id)\)

3. 检查是否有关系包含候选键

• \(R_1\)和\(R_2\) 都包含候选键 \(emp\_id\)。

4. 删除冗余关系（可合并 \(R_1\) 和 \(R_2\)）

可优化为：

1. \(Employee(emp\_id, name, dept\_id)\)
2. \(Department(dept\_id, dept\_name, manager\_id)\)

最终分解结果：

• \(Employee(emp\_id, name, dept\_id)\)
• \(Department(dept\_id, dept\_name, manager\_id)\)